Дифференциал функции
Дифференциал функции — это главная, линейная часть приращения функции при малом изменении аргумента. Он равен произведению производной функции в данной точке на приращение аргумента.
Формула и связь с приращением
Если аргумент изменился от \(x\) до \(x+\Delta x\), то приращение функции равно \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\). Для дифференцируемой функции это приращение можно представить так:
Первое слагаемое \(f'(x)\,\Delta x\) — дифференциал функции, а \(o(\Delta x)\) — остаток, который при малом \(\Delta x\) становится значительно меньше, чем \(\Delta x\). Поэтому дифференциал используют как линейное приближение приращения функции.
Для функции \(y=x^2\) найдём дифференциал. Её производная \(y'=2x\), поэтому \(dy=2x\,dx\). При \(x=3\) и \(dx=0{,}01\) получаем \(dy=2\cdot3\cdot0{,}01=0{,}06\). Значит, приращение функции примерно равно \(0{,}06\): \(\Delta y\approx dy\).
Производная функции \(f'(x)\) — это коэффициент, показывающий скорость изменения функции, а дифференциал \(dy\) — величина, зависящая ещё и от выбранного приращения \(dx\). При \(dx=0\) дифференциал равен нулю, хотя производная может существовать и быть ненулевой.
Чему равен дифференциал функции \(y=\sin x\)?
Главное
- Дифференциал функции задаётся формулой \(dy=f'(x)\,dx\).
- Он является линейной частью приращения функции: \(\Delta y\approx dy\) при малом \(\Delta x\).
- Производная — коэффициент при \(dx\), а дифференциал зависит и от производной, и от приращения аргумента.