Вторая производная
Вторая производная показывает, как изменяется первая производная функции. С её помощью исследуют выпуклость графика и находят точки перегиба.
Чтобы найти вторую производную, сначала вычисляют производную функции, а затем ещё раз дифференцируют полученное выражение. При этом применяют правила дифференцирования. Например, если \(f(x)=x^3-2x^2+x\), то \(f'(x)=3x^2-4x+1\), а \(f''(x)=6x-4\).
Формула и применение
Знак второй производной помогает определить направление выпуклости графика на промежутке: если \(f''(x)>0\), график обычно выпуклый вниз, то есть его касательные располагаются ниже графика; если \(f''(x)<0\), график выпуклый вверх. В школьных курсах также используют правило: при смене знака второй производной в точке \(x_0\) эта точка является точкой перегиба, если функция в ней определена и график действительно меняет выпуклость.
Для функции \(f(x)=x^3\) имеем \(f'(x)=3x^2\) и \(f''(x)=6x\). При \(x<0\) вторая производная отрицательна, а при \(x>0\) положительна. Знак меняется при \(x=0\), поэтому точка \((0;0)\) — точка перегиба графика.
Вторая производная не равна квадрату первой: \(f''(x)\ne(f'(x))^2\). Обозначение \(f''(x)\) означает повторное дифференцирование. Кроме того, условие \(f''(x_0)=0\) само по себе ещё не доказывает наличие точки перегиба: нужно проверить смену знака.
Чему равна вторая производная функции \(f(x)=x^4\)?
Главное
- Вторая производная — это производная от первой: \(f''(x)=(f'(x))'\).
- Знак второй производной используют для исследования выпуклости графика.
- Точка перегиба возможна при смене знака второй производной; одного равенства \(f''(x_0)=0\) недостаточно.