Правила дифференцирования
Правила дифференцирования позволяют быстро находить производные функций, составленных из известных выражений. В этой теме используются производная суммы, произведения, частного и сложной функции; таблицу базовых производных следует повторить на странице таблицы производных элементарных функций.
Что означает производная
Производная функции \(y=f(x)\) в точке показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Геометрически она равна угловому коэффициенту касательной к графику функции. Если функция дифференцируема, её производную обозначают \(f'(x)\) или \(y'\).
Производной функции \(f(x)\) в точке \(x\) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента: \(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\), если этот предел существует.
На экзамене обычно не требуется вычислять предел по определению. Нужно распознать структуру функции, применить подходящее правило и упростить результат. При вычислениях используются угловой коэффициент касательной и значения производных элементарных функций.
Сумма и разность функций
Производная суммы равна сумме производных. Это правило действует для любого конечного числа слагаемых, а постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Если \(u(x)\) и \(v(x)\) дифференцируемы, то \((u+v)'=u'+v'\), \((u-v)'=u'-v'\). Для постоянного числа \(c\): \((cu)'=cu'\).
Например, если \(f(x)=3x^4-5\sin x+7\), то \(f'(x)=12x^3-5\cos x\). Производная постоянного слагаемого \(7\) равна нулю. Производные тригонометрических функций подробнее собраны на странице производных тригонометрических функций.
Производная произведения
Нельзя дифференцировать произведение почленно: обычно \((uv)'\ne u'v'\). Сначала выделите два множителя, затем найдите производную каждого и подставьте их в правило.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна производной первого множителя, умноженной на второй, плюс первый множитель, умноженный на производную второго.
Для трёх множителей правило можно применять несколько раз: \(((u\cdot v)\cdot w)'=(u'v+uv')w+uv\,w'\). Часто полезно сначала раскрыть скобки, если это делает выражение проще, но раскрытие не всегда обязательно.
Найдём производную функции \(f(x)=(x^2+1)\sin x\). Обозначим \(u=x^2+1\), \(v=\sin x\). Тогда \(u'=2x\), \(v'=\cos x\). По правилу произведения получаем \(f'(x)=2x\sin x+(x^2+1)\cos x\).
Какова производная функции \(f(x)=x^2\cos x\)?
Производная частного
Правило частного применяется, когда функция представлена дробью, а в знаменателе стоит функция от \(x\). Знаменатель должен быть отличен от нуля в рассматриваемой точке.
Производная частного равна дроби: в числителе стоит производная числителя, умноженная на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя; знаменатель возводится в квадрат.
Запоминать порядок слагаемых важно: сначала «производная верхнего на низ», затем минус «верхний на производную низа». Если знаменатель — постоянное число, можно вынести его как множитель.
Для \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-3}\) берём \(u=x^2+1\), \(v=x-3\). Тогда \(u'=2x\), \(v'=1\). Поэтому \(f'(x)=\frac{2x(x-3)-(x^2+1)\cdot1}{(x-3)^2}=\frac{x^2-6x-1}{(x-3)^2}\), причём \(x\ne3\).
Производная сложной функции
Сложная функция получается, когда одна функция подставлена в другую: например, \(\sin(3x+1)\), \((x^2-4)^5\) или \(\ln(2x-7)\). Внешняя функция действует на внутреннее выражение. Для таких случаев применяют правило производной сложной функции.
Если \(y=f(g(x))\), то производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой при аргументе \(g(x)\), умноженной на производную внутренней функции \(g(x)\).
Удобный алгоритм: 1) найдите внутреннее выражение; 2) продифференцируйте внешнюю функцию, не забывая сохранить внутреннее выражение; 3) умножьте результат на производную внутреннего выражения.
Цепное правило также сочетается с произведением и частным. Например, в функции \(x^2\sin(5x)\) сначала применяется правило произведения, а при дифференцировании \(\sin(5x)\) — правило цепочки: \((\sin(5x))'=5\cos(5x)\).
1. В произведении пишут \(u'v'\) вместо \(u'v+uv'\). 2. В частном забывают квадрат знаменателя или меняют знак между слагаемыми. 3. В сложной функции находят производную внешней функции, но не умножают на производную внутренней. 4. Производную постоянного слагаемого ошибочно оставляют ненулевой. 5. После применения правила не указывают ограничения, например \(x\ne3\) для дроби со знаменателем \(x-3\).
Как решать задания на экзамене
Сначала приведите функцию к удобному виду и определите её структуру. Если есть сумма — примените линейность; если произведение двух выражений — правило произведения; если дробь — правило частного; если одна функция находится внутри другой — цепное правило. После этого подставьте производные из таблицы и аккуратно упростите выражение.
- Запишите область допустимых значений, если есть знаменатель, корень или логарифм.
- Выделите части функции и подпишите их производные.
- Примените одно или несколько правил дифференцирования.
- Упростите ответ и проверьте знаки, скобки и степени.
Если сомневаетесь в правиле, обозначьте части буквами \(u\) и \(v\). Для произведения проверьте наличие двух слагаемых, а для частного — числителя вида \(u'v-uv'\) и квадрата \(v^2\).
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель выносится за знак производной.
- Для произведения используйте \((uv)'=u'v+uv'\).
- Для частного используйте \((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\) при \(v\ne0\).
- Для сложной функции внешняя производная умножается на внутреннюю.
- Перед решением распознайте структуру функции и после вычислений проверьте знаки, скобки и область допустимых значений.