Задания № 8, 9 · ЕГЭ

Производная сложной функции

Правило цепочки для нахождения производной составной функции

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Производная сложной функции находится по правилу цепочки: сначала дифференцируют внешнюю функцию, не изменяя её внутреннее выражение, а затем умножают результат на производную внутренней функции.

Производная сложной функцииНазвание связано с тем, что функции «вложены» друг в друга, как звенья цепочки.

Если функция имеет вид \(y=f(g(x))\), где \(g(x)\) — внутренняя функция, а \(f(u)\) — внешняя, то её производная равна произведению производной внешней функции по своему аргументу и производной внутренней функции по \(x\).

Формула правила цепочки

\[\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Для применения правила удобно обозначить внутреннее выражение буквой \(u\): \(u=g(x)\). Тогда сначала находят производную внешней функции по \(u\), подставляют обратно \(u=g(x)\) и умножают на \(u'=g'(x)\). Нужные производные внешней функции берут из таблицы производных элементарных функций. Правило цепочки является частью правил дифференцирования.

№

Пример

Найдём производную функции \(y=\sin(3x^2+1)\). Внешняя функция — \(\sin u\), внутренняя — \(u=3x^2+1\). Поэтому \(y'=\cos(3x^2+1)\cdot(3x^2+1)'=\cos(3x^2+1)\cdot6x\). Ответ: \(y'=6x\cos(3x^2+1)\).

Не забудьте множитель

Частая ошибка — написать только производную внешней функции: например, для \(\cos(5x)\) ошибочно получить \(-\sin(5x)\). Правильно: \(-\sin(5x)\cdot5=-5\sin(5x)\). Правило цепочки применяют и при дифференцировании тригонометрических функций, и при работе со степенями, логарифмами и показательной функцией.

Проверьте себя

Чему равна производная функции \(y=(2x-1)^4\)?

Главное за минуту

Главное

Для \(y=f(g(x))\) используйте формулу \(y'=f'(g(x))\cdot g'(x)\).
Сначала дифференцируйте внешнюю функцию, затем умножайте на производную внутренней.
Нельзя забывать производную внутреннего выражения — это главный множитель правила цепочки.