Задания № 8, 9 · ЕГЭ

Производная произведения

Правило дифференцирования произведения двух функций

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Производная произведения показывает, как изменяется произведение двух функций. Чтобы её найти, умножают производную первой функции на вторую, затем прибавляют произведение первой функции на производную второй.

Производная произведенияСлово «произведение» означает результат умножения функций.

Если функции \(u(x)\) и \(v(x)\) дифференцируемы, то производная их произведения \(u(x)v(x)\) равна \(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\). Это правило является частью общих правил дифференцирования. Перед применением формулы полезно повторить таблицу производных элементарных функций.

Формула

\[(u(x)\cdot v(x))'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\]

В записи \(u'(x)\) производная относится к первой функции, а \(v'(x)\) — ко второй. Важно продифференцировать обе функции и сложить получившиеся произведения. Порядок множителей можно менять: результат не изменится.

№

Пример

Найдём производную функции \(y=x^2\sin x\). Здесь \(u(x)=x^2\), \(v(x)=\sin x\). По правилу произведения и таблице производных: \(y'=2x\sin x+x^2\cos x\). Вторая часть использует производную тригонометрической функции: \((\sin x)'=\cos x\).

Не путайте с произведением производных

Неверно писать \((uv)'=u'v'\). Правильная формула содержит сумму: \((uv)'=u'v+uv'\). Также правило произведения отличается от правила производной частного, которое применяют при делении функций.

Проверьте себя

Чему равна производная \(y=(x+1)\cos x\)?

Главное за минуту

Главное

Производная произведения равна сумме двух произведений: \((uv)'=u'v+uv'\).
Нужно дифференцировать каждый множитель по очереди, оставляя другой без изменения.
Не следует заменять правило произведением производных: \((uv)'\ne u'v'\).