Задания № 8, 9 · ЕГЭ

Производная частного

Формула, условия применения и пример вычисления
3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Производная частного показывает, как изменяется отношение двух функций. Чтобы найти её, производную числителя умножают на знаменатель, затем вычитают произведение числителя на производную знаменателя и делят результат на квадрат знаменателя.

Производная частногоНазвание связано с частным, то есть отношением, двух функций.
Если функции \(u(x)\) и \(v(x)\) дифференцируемы в точке \(x\), причём \(v(x)\ne 0\), то производная частного \(\frac{u(x)}{v(x)}\) вычисляется по специальной формуле. Для нахождения \(u'(x)\) и \(v'(x)\) используют таблицу производных элементарных функций и другие правила дифференцирования.

Формула

\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad v\ne 0\]

В числителе формулы важно соблюдать порядок: производная числителя умножается на знаменатель, затем вычитается числитель, умноженный на производную знаменателя. Знаменатель результата — квадрат исходного знаменателя. Формула применяется в тех точках, где обе функции имеют производные, а знаменатель не равен нулю.

№
Пример

Найдём производную функции \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}\). Пусть \(u=x^2+1\), тогда \(u'=2x\); \(v=x-2\), тогда \(v'=1\). По формуле производной частного: \(f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2+1)\cdot1}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\). Значение \(x=2\) исключается, потому что исходная функция при нём не определена.

!
Не путайте с производной произведения

Нельзя дифференцировать частное как произведение производных: \(\left(\frac{u}{v}\right)'\ne\frac{u'}{v'}\). Для производной произведения действует другая формула: \((uv)'=u'v+uv'\).

Проверьте себя

Какова производная функции \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) при \(x\ne0\)?

Главное за минуту

Главное

  • \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) при \(v\ne0\).
  • В числителе соблюдайте порядок «производная числителя умножить на знаменатель минус числитель умножить на производную знаменателя».
  • Перед применением формулы проверьте область определения исходной функции.