Исследование функции по производной
Исследование функции по производной позволяет без сложного построения определить, где функция возрастает и убывает, найти точки максимума и минимума, а затем составить схему её поведения. Для вычислений понадобятся правила дифференцирования и аккуратная работа со знаками.
Общий алгоритм исследования
Исследование начинают с области определения функции \(y=f(x)\). Затем находят производную \(f'(x)\) и решают неравенство \(f'(x)>0\) или \(f'(x)<0\). Знаки производной отмечают на числовой прямой, разделённой критическими точками и точками, где функция не определена.
- Найти область определения функции.
- Вычислить производную \(f'(x)\), используя [[derivative-rules:правила дифференцирования]] и, если нужно, производную сложной функции.
- Найти критические точки: решения уравнения \(f'(x)=0\) и точки, где \(f'(x)\) не существует, но сама функция определена. Подробнее — в статье [[critical-point:о критической точке]].
- Расставить найденные точки на числовой прямой и определить знак производной на каждом промежутке.
- Сделать вывод о промежутках возрастания, убывания и локальных экстремумах.
- Вычислить значения функции в точках экстремума и нанести основные точки на схему или график.
Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему аргументу соответствует меньшее значение функции. На практике монотонность определяют по знаку производной.
Знак производной и промежутки монотонности
Если производная положительна на промежутке, график функции идёт вверх слева направо. Если производная отрицательна, график идёт вниз. Точное правило формулируется так:
Если \(f'(x)>0\) на промежутке, то функция \(f(x)\) возрастает на этом промежутке. Если \(f'(x)<0\) на промежутке, то функция \(f(x)\) убывает на этом промежутке.
Точки, где \(f'(x)=0\), сами по себе не являются промежутками монотонности. Их используют как границы промежутков. Например, если \(f'(x)>0\) слева и справа от точки \(x_0\), функция возрастает по обе стороны, а точка \(x_0\) не обязана быть экстремумом.
| Знак \(f'(x)\) | Поведение функции | Что записываем |
|---|---|---|
| + | График поднимается | Функция возрастает |
| − | График опускается | Функция убывает |
| 0 в отдельной точке | Нужно проверить знаки по сторонам | Возможен экстремум, но не обязательно |
Производная функции имеет знак «−» на интервале \((2;7)\). Какой вывод верен?
Как находить экстремумы
[[local-extremum:Локальный экстремум]] — это точка, в которой функция принимает значение, большее или меньшее значений в достаточно близких соседних точках. Точка максимума соответствует переходу производной от плюса к минусу, а точка минимума — от минуса к плюсу.
Если при переходе через точку \(x_0\) производная меняет знак с «+» на «−», то в \(x_0\) функция имеет локальный максимум. Если знак меняется с «−» на «+», то в \(x_0\) функция имеет локальный минимум. Если знак не меняется, экстремума нет.
Чтобы назвать именно точку графика, записывают \((x_0;f(x_0))\). Чтобы назвать значение аргумента, говорят «точка экстремума \(x_0\)» или «абсцисса точки экстремума». Не следует путать координату \(x_0\) и значение функции \(f(x_0)\).
Равенство \(f'(x_0)=0\) не доказывает наличие экстремума. Например, у функции \(f(x)=x^3\) производная \(f'(x)=3x^2\) равна нулю при \(x=0\), но знак производной не меняется: слева и справа он положительный. Поэтому экстремума в \(x=0\) нет.
Разобранный пример
Исследуем функцию \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\): найдём промежутки монотонности и экстремумы.
Итак, локальный максимум имеет координаты \((-1;10)\), а локальный минимум — \((3;-22)\). Схема знаков производной: \(+\,|_{-1}\,-\,|_{3}\,+\). Она сразу показывает подъём, затем спуск и снова подъём.
Схема функции и оформление ответа
Схема функции — это краткая запись результатов исследования. В ней обычно указывают критические точки, знаки производной, направления изменения и экстремумы. Удобно оформлять её в виде таблицы или цепочки стрелок.
| Промежуток | \((-\infty;-1)\) | \((-1;3)\) | \((3;+\infty)\) |
|---|---|---|---|
| Знак \(f'(x)\) | + | − | + |
| Поведение \(f(x)\) | возрастает | убывает | возрастает |
| Экстремум на границе | максимум при \(x=-1\) | минимум при \(x=3\) |
Если в задании требуется построить график, дополнительно отмечают точки пересечения с осями, если они легко находятся, значения функции в экстремумах и поведение на концах области определения. Для дробных, логарифмических и тригонометрических функций сначала особенно внимательно выписывают область определения.
Если производная разложена на множители, не подставляйте много случайных чисел. Отметьте нули множителей на прямой и определяйте знак каждого множителя на промежутке. Затем перемножьте знаки. При корне нечётной кратности знак обычно меняется, при корне чётной кратности — нет.
Не включайте точки, где функция не определена, в промежутки монотонности. Не называйте промежутком одну критическую точку. Не забывайте проверять знак производной именно по обе стороны от критической точки: без этого нельзя уверенно установить экстремум.
Что нужно уметь перед решением заданий
Для сложных выражений повторите [[derivative-rules:правила дифференцирования]], а также [[product-derivative:производную произведения]], [[quotient-derivative:производную частного]] и [[chain-rule:правило производной сложной функции]]. В тригонометрических примерах пригодится [[trigonometric-derivatives:производные тригонометрических функций]]. После нахождения производной задача сводится к исследованию её знака.
Проверь себя
Главное
- Сначала находят область определения, затем производную и критические точки.
- При \(f'(x)>0\) функция возрастает, при \(f'(x)<0\) — убывает.
- Переход \(+\to-\) даёт локальный максимум, а \(-\to+\) — локальный минимум.
- Критическая точка без смены знака производной экстремумом не является.
- Схема знаков производной помогает быстро восстановить поведение графика и оформить ответ.