Критическая точка
Критическая точка — это точка области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует. Такие точки проверяют при [[derivative-graph-analysis:исследовании функции по производной]], потому что в них может находиться локальный экстремум.
Чтобы найти критические точки, сначала определяют область определения функции, затем находят [[derivative-definition:производную функции]] и решают уравнение \(f'(x)=0\). Отдельно отмечают точки области определения, в которых производная не существует. Важно, что значение самой функции в критической точке должно быть определено.
Для функции \(f(x)=x^3-3x\) имеем \(f'(x)=3x^2-3\). Решаем \(3x^2-3=0\): \(x=-1\) и \(x=1\). Обе точки принадлежат области определения, поэтому \(x=-1\) и \(x=1\) — критические точки. Дальше по смене знака производной можно проверить, являются ли они локальными экстремумами.
Критическая точка не обязательно является [[local-extremum:локальным экстремумом]]. Например, для \(f(x)=x^3\) производная равна нулю при \(x=0\), но максимум или минимум в этой точке отсутствует. Кроме того, критическими называют и точки, где производная не существует, например \(x=0\) для \(f(x)=|x|\).
Какие критические точки имеет функция \(f(x)=|x-2|\)?
После нахождения критических точек обычно исследуют знаки производной на промежутках и определяют [[monotonicity-by-derivative:промежутки монотонности]]. Это позволяет установить характер изменения функции и найти экстремумы.
Главное
- Критическая точка принадлежит области определения функции.
- В ней производная равна нулю или не существует.
- Критическая точка может не быть локальным экстремумом; это проверяют дополнительно по знакам производной.