Задание № 9 · ЕГЭ

Наибольшее и наименьшее значение функции

Как находить абсолютный максимум и минимум функции

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Наибольшее и наименьшее значения функции — это её абсолютные, или глобальные, экстремумы: самые большие и самые маленькие значения среди всех допустимых значений аргумента. На отрезке их обычно находят сравнением значений функции в концах отрезка и в критических точках.

Число \(M\) называется наибольшим значением функции \(f\) на множестве \(D\), если для всех \(x\in D\) выполняется \(f(x)\le M\), и существует \(x_0\in D\), для которого \(f(x_0)=M\). Аналогично, число \(m\) называется наименьшим значением, если для всех \(x\in D\) выполняется \(f(x)\ge m\), причём \(f(x_0)=m\) хотя бы в одной точке.

Как искать экстремумы на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке \([a;b]\), она обязательно достигает на нём и наибольшего, и наименьшего значения. Алгоритм таков: найти [[critical-point:критические точки]] внутри отрезка; вычислить значения функции в этих точках и в концах \(a\) и \(b\); сравнить полученные числа.

\[f_{\max}=\max\{f(a),f(b),f(x_1),\ldots,f(x_n)\},\qquad f_{\min}=\min\{f(a),f(b),f(x_1),\ldots,f(x_n)\}.\]

№

Пример

Найдём наибольшее и наименьшее значения \(f(x)=x^2-2x\) на \([0;3]\). Производная \(f'(x)=2x-2\), поэтому критическая точка \(x=1\). Сравним: \(f(0)=0\), \(f(1)=-1\), \(f(3)=3\). Значит, наименьшее значение равно \(-1\), а наибольшее — \(3\).

Не путайте

Абсолютный экстремум на всём рассматриваемом множестве отличается от [[extrema-algorithm-by-derivative:локального экстремума]]: локальный максимум или минимум сравнивает значения лишь поблизости от точки. Локальный экстремум не обязан быть самым большим или самым маленьким на всём отрезке.

На области определения сначала учитывают все критические точки и границы промежутков, если они входят в область. Также проверяют поведение функции у разрывов и на бесконечности. На открытом промежутке наибольшее или наименьшее значение может не существовать: например, функция \(f(x)=x\) на \((0;1)\) не имеет ни максимума, ни минимума.

Проверь себя

Что нужно сравнить при поиске наибольшего значения непрерывной функции на \([a;b]\)?

Главное за минуту

Главное

Абсолютный максимум и минимум сравнивают функцию на всём заданном множестве.
На отрезке проверяют концы и критические точки внутри него.
Локальный экстремум может не быть абсолютным; на открытой области абсолютные экстремумы могут не существовать.