Производная в физике
В физике производная показывает, как быстро изменяется величина. Производная координаты по времени равна мгновенной скорости тела, а производная скорости по времени — его мгновенному ускорению.
Основные формулы
Пусть \(x(t)\) — координата тела, \(v(t)\) — его скорость, а \(t\) — время. Тогда скорость равна производной координаты, а ускорение — производной скорости. Поэтому ускорение также является второй производной координаты.
Единица скорости в СИ — метр в секунду (\(\text{м/с}\)), единица ускорения — метр на секунду в квадрате (\(\text{м/с}^2\)). Если производная положительна, величина возрастает; если отрицательна — убывает. Подробное применение производных к движению рассматривается в производной в механике.
Пусть координата тела изменяется по закону \(x(t)=3t^2+2t\), где \(x\) измеряется в метрах, а \(t\) — в секундах. Тогда \(v(t)=x'(t)=6t+2\) м/с, а \(a(t)=v'(t)=6\) м/с². Следовательно, ускорение постоянно.
Средняя скорость и мгновенная скорость — не одно и то же. Средняя скорость на промежутке времени вычисляется как отношение перемещения ко всему времени: \(v_{\text{ср}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\). Мгновенная скорость получается предельным переходом и равна производной \(x'(t)\) в конкретный момент.
Координата тела задана формулой \(x(t)=t^3\). Чему равна скорость в момент \(t=2\) с?
Главное
- Производная координаты по времени — мгновенная скорость: \(v=x'(t)\).
- Производная скорости по времени — мгновенное ускорение: \(a=v'(t)=x''(t)\).
- Средняя скорость находится отношением приращения координаты ко времени, а мгновенная — производной.