Синус и косинус через экспоненту
Синус и косинус можно выразить через комплексные экспоненты \(e^{ix}\) и \(e^{-ix}\). Это позволяет заменять тригонометрические выражения алгебраическими и удобно преобразовывать произведения, суммы и степени.
Здесь \(x\) — действительное число, а \(i\) — мнимая единица, для которой \(i^2=-1\). Чтобы получить формулы, складывают или вычитают равенства Эйлера. С их помощью тригонометрические тождества через экспоненту сводятся к действиям со степенями: \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\).
Преобразуем \(\sin x\sin y\): \(\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\) и \(\sin y=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}\). Поэтому произведение заменяется произведением двух скобок с экспонентами. После раскрытия скобок показатели складываются, например \(e^{ix}e^{iy}=e^{i(x+y)}\). Такой способ особенно удобен для преобразований, где много произведений или степеней.
В формуле для косинуса стоит сумма и деление на \(2\), а в формуле для синуса — разность и деление на \(2i\). Нельзя заменять \(2i\) на \(2\): множитель \(i\) необходим, чтобы результат синуса был действительным при действительном \(x\).
Как записать \(\cos x\) через комплексные экспоненты?
Главное
- \(\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), а \(\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\).
- Формулы позволяют преобразовывать тригонометрические выражения с помощью свойств экспоненты.
- Главная проверка при записи формул — знак между экспонентами и наличие множителя \(i\) в знаменателе синуса.