Арксинус
Арксинус — обратная функция к синусу на специально выбранном отрезке. Он показывает, какой угол из отрезка \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) имеет заданный синус.
Определение
Арксинус числа \(x\), обозначаемый \(\arcsin x\), — это такое число \(y\) из отрезка \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), что \(\sin y=x\). Понятие рассматривают в теме обратных тригонометрических функций. Для понимания выбора углов полезно знать тригонометрическую окружность.
Формула и свойства
- Область определения: \(x\in[-1,1]\), потому что синус не принимает значений меньше \(-1\) и больше \(1\).
- Область значений: \(\arcsin x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
- Основные значения: \(\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\), \(\arcsin 0=0\), \(\arcsin 1=\frac{\pi}{2}\).
\(\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\), потому что \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\), а \(\frac{\pi}{6}\) принадлежит отрезку \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
Арксинус — это не величина \(\frac{1}{\sin x}\). Обратная тригонометрическая функция \(\arcsin x\) возвращает угол, а выражение \(\frac{1}{\sin x}\) называется косекансом. Также не следует смешивать арксинус с арккосинусом: у них разные области значений.
Чему равно \(\arcsin(-1)\)?
Главное
- \(\arcsin x\) — единственный угол \(y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), для которого \(\sin y=x\).
- Область определения арксинуса — \([-1,1]\), область значений — \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
- Арксинус возвращает угол и не является величиной \(\frac{1}{\sin x}\).