ЕГЭОГЭ
Задание № 14 · ЕГЭ

Формулы двойного угла

Как выразить значения тригонометрических функций для угла 2x
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Формулы двойного угла выражают \(\sin 2x\), \(\cos 2x\) и \(\tan 2x\) через тригонометрические функции угла \(x\). Они применяются при преобразовании выражений и решении уравнений.

Формулы двойного углаСлово «двойной» указывает на аргумент $2x$, то есть на угол, в два раза больший, чем $x$.
Формулы двойного угла — это следствия формул сложения, полученные при равенстве аргументов: \(2x=x+x\). Они входят в систему основных тригонометрических тождеств.

Основные формулы

\[\sin 2x=2\sin x\cos x\]
\[\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\]
\[\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\]

Для косинуса полезно выбирать вариант, в котором присутствует нужная функция: например, \(1-2\sin^2x\) удобно использовать, если дан синус, а \(2\cos^2x-1\) — если дан косинус. Формула тангенса применима при существовании обеих частей: в частности, \(\cos x\ne0\) и \(1-\tan^2x\ne0\).

№
Пример

Вычислим \(\cos 60^\circ\) по формуле двойного угла. Представим \(60^\circ=2\cdot30^\circ\): \(\cos60^\circ=1-2\sin^2 30^\circ=1-2\cdot\left(\frac12\right)^2=\frac12\).

!
Не перепутайте

Неверно: \(\sin 2x=\sin^2x\) или \(\cos 2x=\cos^2x\). Для синуса двойного угла обязательно присутствует произведение \(2\sin x\cos x\), а у косинуса есть три равносильные формы. Также \(\tan 2x\) не равен \(2\tan x\).

Проверьте себя

Как записать \(\cos 2x\) через \(\sin x\)?

Главное за минуту

Главное

  • \(\sin 2x=2\sin x\cos x\).
  • \(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\).
  • \(\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\); выбирайте форму по данным задачи.