Формулы половинного угла
Формулы половинного угла позволяют найти синус или косинус угла \(\frac{\alpha}{2}\), если известен косинус угла \(\alpha\). Они следуют из формул двойного угла и являются следствием основных тригонометрических тождеств.
Основные формулы
Знак \(\pm\) нельзя выбирать произвольно. Сначала определяют положение угла \(\frac{\alpha}{2}\) на координатной окружности, затем выбирают знак соответствующей тригонометрической функции. Если известно, что \(\frac{\alpha}{2}\) лежит в I четверти, обе функции положительны. При нахождении во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Из формул двойного угла: \(\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}\) и \(\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1\). После переноса и извлечения квадратного корня получают формулы половинного угла.
Пусть \(\cos\alpha=\frac{1}{2}\), а угол \(\frac{\alpha}{2}\) лежит в I четверти. Тогда \(\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac12}{2}}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}\), а \(\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac12}{2}}=\frac12\).
Квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому запись без знака перед корнем сразу даёт только положительное значение. Для угла во II или III четверти нужно поставить минус перед корнем для той функции, которая там отрицательна.
Если \(\cos\alpha=-\frac12\), а угол \(\frac{\alpha}{2}\) находится во II четверти, чему равен \(\cos\frac{\alpha}{2}\)?
Главное
- \(\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\), а \(\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\).
- Знак корня выбирают по четверти угла \(\frac{\alpha}{2}\), а не по значению \(\alpha\).
- Формулы получаются из формул двойного угла.