Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $2\sin^2 x+\cos(-x)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-3\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговТак как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$:
$$2\sin^2 x+\cos x-1=0$$Выразим квадрат синуса через косинус:
$$2(1-\cos^2 x)+\cos x-1=0$$Обозначим $t=\cos x$. Решаем квадратное уравнение:
$$-2t^2+t+1=0,\qquad 2t^2-t-1=0$$Разложение на множители даёт два значения косинуса:
$$(2t+1)(t-1)=0,\qquad t=1\ или\ t=-\dfrac12$$При $\cos x=1$ получаем:
$$x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$При $\cos x=-\dfrac12$ получаем:
$$x=2\pi k\pm\dfrac{2\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-3\pi\right]$ из серии $x=2\pi k$ подходит значение $x=-4\pi$. Из серии $x=2\pi k+\dfrac{2\pi}{3}$ подходит значение $x=-\dfrac{10\pi}{3}$. Другие значения из общей записи в данный отрезок не попадают.
$$x=-4\pi,\qquad x=-\dfrac{10\pi}{3}$$а) $x=2\pi k$ или $x=2\pi k\pm\dfrac{2\pi}{3}$, где $k\in\mathbb Z$; б) $-4\pi$, $-\dfrac{10\pi}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считают, что $\cos(-x)=-\cos x$.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно $\cos x$.
Не проверяют, какие значения общего решения попадают в заданный отрезок.
Записывают только корни на отрезке, не приводя общее решение уравнения.