Решение: Показательное уравнение и отрезок
Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\, \log_5 20]$.
Решение по шагам
7 шаговПредставим все степени через основание $2$: $8^x = 2^{3x}$, а $2^{5-x} = \dfrac{32}{2^x}$.
Введём замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, имеем $t > 0$. Уравнение принимает вид
$$t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0$$Умножим уравнение на $t > 0$:
$$t^4 - 18t^2 + 32 = 0$$Сделаем замену $y = t^2$. Тогда
$$y^2 - 18y + 32 = 0$$Корни квадратного уравнения равны $y_1 = 16$ и $y_2 = 2$. Поскольку $t > 0$, получаем $t_1 = 4$ и $t_2 = \sqrt{2}$.
Возвращаясь к переменной $x$, находим корни исходного уравнения:
$$2^x = 4 \Rightarrow x = 2; \qquad 2^x = \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$Проверим принадлежность корней заданному отрезку. Так как функция $\log_5 x$ возрастает, имеем $\log_5 2 < \frac{1}{2} < \log_5 20$, поскольку $2 < \sqrt{5} < 20$. При этом $2 > \log_5 20$, так как $5^2 = 25 > 20$.
Корни уравнения: $x = \frac{1}{2}$ и $x = 2$. На отрезке $[\log_5 2;\, \log_5 20]$ находится только корень $x = \frac{1}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают условие $t > 0$ после замены $t = 2^x$.
Забывают умножить все уравнение на $t$, включая последний член.
Ошибочно считают, что $x = 2$ принадлежит отрезку, не сравнив его с $\log_5 20$.