Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение
$1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin(x-\pi)$.
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]$.
Решение по шагам
6 шаговИспользуем формулы $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ и $\sin(x-\pi)=-\sin x$.
$$2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x$$Перенесём все слагаемые в левую часть и введём обозначение $t=\sin x$.
$$2t^2+(\sqrt{3}-2)t-\sqrt{3}=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители.
$$(t-1)(2t+\sqrt{3})=0$$Получаем два тригонометрических уравнения.
$$\sin x=1\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$Общие решения имеют вид:
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$На отрезке $[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]$ из первой серии подходит $x=-\frac{7\pi}{2}$, из второй — $x=-\frac{13\pi}{3}$, из третьей — $x=-\frac{14\pi}{3}$.
$x=-\frac{14\pi}{3},\ -\frac{13\pi}{3},\ -\frac{7\pi}{2}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin(x-\pi)$ и получают неправильный знак.
Забывают одно из общих решений уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Не проверяют принадлежность найденных корней заданному отрезку.