Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем синус суммы:
$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$Подставим выражение в исходное уравнение и сократим одинаковые слагаемые:
$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$Получаем уравнение:
$$\cos 2x-\cos x+1=0$$Используем формулу двойного угла $\cos 2x=2\cos^2x-1$:
$$2\cos^2x-\cos x=0$$Разложим на множители:
$$\cos x(2\cos x-1)=0$$Отсюда получаем две серии решений:
$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad \cos x=\frac12\Rightarrow x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ из первой серии подходят $x=\frac{5\pi}{2}$ и $x=\frac{7\pi}{2}$, из второй серии подходит $x=\frac{11\pi}{3}$.
Общее решение: $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$: $x=\frac{5\pi}{2},\frac{11\pi}{3},\frac{7\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают синус суммы.
Теряют решение при переходе от произведения к совокупности уравнений.
Неправильно отбирают корни на заданном отрезке.