Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{17\pi}{2};\,-7\pi\right]$.
Решение по шагам
9 шаговПрименим формулу приведения:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$Раскроем косинус разности:
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)$$Подставим полученные выражения в исходное уравнение и упростим:
$$2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)-2\sqrt{2}\cos x=0$$После вынесения общего множителя получаем:
$$\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=0$$Так как $\sqrt{2}\ne0$, имеем $\sin x=\cos x$. Общее решение:
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Определим значения параметра $k$, для которых корни принадлежат заданному отрезку:
$$-\frac{17\pi}{2}\leq\frac{\pi}{4}+\pi k\leq-7\pi$$После деления на $\pi>0$ получаем:
$$-\frac{17}{2}\leq\frac{1}{4}+k\leq-7$$Следовательно, $-\frac{35}{4}\leq k\leq-\frac{29}{4}$. Единственное целое значение — $k=-8$.
Подставляем $k=-8$ в общее решение:
$$x=\frac{\pi}{4}-8\pi=-\frac{31\pi}{4}$$а) $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; б) $x=-\frac{31\pi}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют формулу приведения для $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$.
Теряют множитель $\sqrt{2}$ при разложении $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
Не проверяют целые значения параметра $k$ по обеим границам отрезка.