Решение: Тригонометрическое уравнение с синусом
а) Решите уравнение $2\sin x + 2\sqrt{3}\sin(-x) - 4\cos^2 x = \sqrt{3} - 4$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $\sin(-x)=-\sin x$, исходное уравнение принимает вид:
$$2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^2x=\sqrt{3}-4$$Выразим квадрат косинуса через синус: $\cos^2x=1-\sin^2x$.
$$2(1-\sqrt{3})\sin x-4(1-\sin^2x)=\sqrt{3}-4$$Перенесём все слагаемые в левую часть и введём замену $t=\sin x$.
$$4t^2+(2-2\sqrt{3})t-\sqrt{3}=0$$Квадратное уравнение имеет корни $t_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $t_2=-\frac{1}{2}$.
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac{1}{2}$$Решения первого уравнения:
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$Решения второго уравнения:
$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ подходят значения $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{8\pi}{3}$ и $\frac{19\pi}{6}$. Значение $\frac{23\pi}{6}$ уже больше правой границы отрезка.
Общее решение: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3},\frac{19\pi}{6}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin(-x)$ и получают неправильный знак.
Забывают один из двух наборов решений для каждого значения синуса.
Не проверяют принадлежность найденных корней заданному отрезку.