Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговИспользуем формулы для отрицательного аргумента и формулу двойного угла:
$$\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1$$Сгруппируем слагаемые и разложим выражение на множители:
$$2\sin x\cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = (2\sin x+1)(\cos x-1)$$Получаем совокупность двух уравнений:
$$2\sin x+1=0 \quad \text{или} \quad \cos x-1=0$$Решения первого уравнения:
$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k \ или \ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Решения второго уравнения:
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ находятся корни $2\pi$ и $\frac{19\pi}{6}$. Корень $\frac{23\pi}{6}$ уже больше правой границы отрезка.
Общее решение: $x=2\pi k$ или $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$: $x=2\pi$ и $x=\frac{19\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют формулу $\sin(-x)=-\sin x$ или считают, что $\cos(-x)=-\cos x$.
Не замечают разложение на множители $(2\sin x+1)(\cos x-1)$.
Не проверяют все найденные корни на принадлежность заданному отрезку.