Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\sin(x+\pi)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПрименим формулу приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Тогда исходное уравнение принимает вид
$$\cos 2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$Выразим косинус двойного угла через синус:
$$1-2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$Разложим полученное выражение на множители:
$$-2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x=0,\qquad \sin x\left(\sqrt{2}-2\sin x\right)=0$$Рассмотрим первый случай:
$$\sin x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Во втором случае:
$$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\ \text{или}\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Проверим корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$. Из решений $x=\pi n$ подходят $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$. Из решений $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ подходит $x=-\dfrac{13\pi}{4}$. Ветвь $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ корней на данном отрезке не дает.
Общее решение: $x=\pi n$ или $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, или $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$: $x\in\left\{-\dfrac{13\pi}{4},-3\pi,-2\pi\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют формулу $\sin(x+\pi)=-\sin x$.
Теряют корни при переходе от произведения к двум уравнениям.
Не учитывают концы заданного отрезка.
Ошибаются при подборе целых значений параметра $n$.