Решение: Тригонометрическое уравнение с косинусом
а) Решите уравнение $\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
Решение по шагам
5 шаговПрименим формулы чётности и нечётности тригонометрических функций: $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$.
$$\sin 2x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0$$Используем формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и разложим выражение на множители.
$$2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=(2\cos x+1)(\sin x+1)=0$$Получаем совокупность двух тригонометрических уравнений.
$$\sin x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\dfrac12$$Решения первого уравнения имеют вид $x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$, а решения второго — $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.
$$x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k;\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$$На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ из этих решений находятся $\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{8\pi}{3}$.
$$\dfrac{3\pi}{2},\quad \dfrac{8\pi}{3}$$Общее решение: $x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$ или $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$: $x=\dfrac{3\pi}{2}$ и $x=\dfrac{8\pi}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать формулы чётности: считать, что $\cos(-x)=-\cos x$.
Потерять один из множителей при переходе от произведения к совокупности уравнений.
Не проверить все значения параметра $k$ на заданном отрезке.