Решение: Тригонометрическое уравнение с заменой
а) Решите уравнение $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговСделаем замену $y = 9^{\sin x}$. Тогда $81^{\sin x} = y^2$, поскольку $81 = 9^2$. Получаем квадратное уравнение:
$$27y^2 - 12y + 1 = 0$$Найдём корни квадратного уравнения:
$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 36$$Следовательно,
$$y_{1,2} = \dfrac{12 \pm 6}{54}, \qquad y_1 = \dfrac{1}{3},\quad y_2 = \dfrac{1}{9}$$Возвращаемся к переменной $x$. Так как $y = 9^{\sin x}$, рассматриваем два случая:
$$9^{\sin x} = \dfrac{1}{3} \quad \text{или} \quad 9^{\sin x} = \dfrac{1}{9}$$В первом случае $\dfrac{1}{3} = 9^{-1/2}$, поэтому $\sin x = -\dfrac{1}{2}$. Отсюда:
$$x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$Во втором случае $\sin x = -1$, поэтому:
$$x = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ находятся корни $\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{11\pi}{6}$. Остальные значения из общих формул в этот отрезок не попадают.
а) $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; б) $x \in \left\{\dfrac{3\pi}{2};\,\dfrac{11\pi}{6}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что $81^{\sin x} = \left(9^{\sin x}\right)^2$.
Потерять случай $\sin x = -1$.
Неверно отобрать корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.
Записать только корни на отрезке и не привести общее решение уравнения.