Решение: Тригонометрическое уравнение и отрезок
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговПрименим формулу приведения для синуса суммы и формулу двойного угла:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$$2\cos^2x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0$$Сгруппируем слагаемые и разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$2\cos^2x+\sqrt{3}\cos x=0,\qquad \cos x\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0$$Решаем первое уравнение:
$$\cos x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$Решаем второе уравнение:
$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ или\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$Проверим решения на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$. Из первой серии подходят значения при $n=-3$ и $n=-2$:
$$x=-\frac{5\pi}{2},\qquad x=-\frac{3\pi}{2}$$Из серии $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ корней на данном отрезке нет. Из серии $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$ при $n=-2$ получаем:
$$x=\frac{7\pi}{6}-4\pi=-\frac{17\pi}{6}$$Общее решение: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$, где $n\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ находятся корни $-\frac{17\pi}{6}$, $-\frac{5\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применять формулу приведения и считать, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cos x$.
Потерять корень при разложении выражения на множители.
Не проверить обе серии решений на заданном отрезке.
Ошибиться при приведении корня $\frac{7\pi}{6}-4\pi$ к общему знаменателю.