Решение: Показательное уравнение и отрезок
а) Решите уравнение $27^x - 4 \cdot 3^{x+2} + 3^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_7 4;\ \log_7 16]$.
Решение по шагам
7 шаговВведём замену $t = 3^x$, тогда $t > 0$. Представим слагаемые уравнения через $t$:
$$27^x = (3^x)^3 = t^3,\quad 3^{x+2} = 9t,\quad 3^{5-x} = \frac{243}{t}$$Подставим выражения в исходное уравнение и умножим на $t > 0$:
$$t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^4 - 36t^2 + 243 = 0$$Сделаем замену $y = t^2$. Получим квадратное уравнение:
$$y^2 - 36y + 243 = 0$$Найдём корни квадратного уравнения:
$$D = 36^2 - 4 \cdot 243 = 324,\quad y_1 = 27,\quad y_2 = 9$$Так как $t > 0$, получаем $t_1 = \sqrt{27} = 3^{3/2}$ и $t_2 = \sqrt{9} = 3$.
$$3^x = 3^{3/2}\quad\text{или}\quad 3^x = 3$$Следовательно, корни исходного уравнения:
$$x_1 = \frac{3}{2},\quad x_2 = 1$$Проверим принадлежность корней заданному отрезку. Так как функция $\log_7 x$ возрастает, а $4 < 7 < 16$, имеем $\log_7 4 < 1 < \log_7 16$. При этом $\log_7 16 < 2 < \frac{3}{2}$ неверно; точнее, $\log_7 16 \approx 1{,}425 < \frac{3}{2}$. Поэтому в отрезок входит только $x = 1$.
$$\log_7 4 < 1 < \log_7 16,\quad \frac{3}{2} > \log_7 16$$а) $x = 1$ и $x = \frac{3}{2}$; б) $x = 1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
При замене $t = 3^x$ забывают, что $3^{5-x} = \frac{243}{t}$.
После замены учитывают отрицательное значение $t$, хотя $t = 3^x > 0$.
Ошибочно считают, что $\frac{3}{2}$ принадлежит отрезку $[\log_7 4;\ \log_7 16]$.