Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi; -\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
8 шаговПреобразуем косинус и раскроем синус разности:
$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x$$Подставим эти выражения в исходное уравнение и упростим:
$$2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$Получаем равносильное уравнение:
$$-\sqrt{3}\sin x-\cos x=0,\qquad \sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$Представим левую часть с помощью формулы синуса суммы:
$$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0$$Решаем полученное уравнение:
$$x+\dfrac{\pi}{6}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};\qquad x=\pi n-\dfrac{\pi}{6}$$Определим значения параметра $n$, при которых корень принадлежит заданному отрезку:
$$-6\pi\leq \pi n-\dfrac{\pi}{6}\leq -\dfrac{9\pi}{2}$$После прибавления $\dfrac{\pi}{6}$ и деления на $\pi$ получаем:
$$-\dfrac{35}{6}\leq n\leq -\dfrac{13}{3}$$Единственное целое значение параметра — $n=-5$. Соответствующий корень:
$$x=-5\pi-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{31\pi}{6}$$Общее решение: $x=\pi n-\dfrac{\pi}{6}$, $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-6\pi; -\dfrac{9\pi}{2}\right]$ находится единственный корень $x=-\dfrac{31\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют выражение $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$.
Теряют множитель $2$ при раскрытии скобок.
Неправильно определяют целые значения параметра $n$ на заданном отрезке.
Записывают только корень на отрезке, не приводя общее решение уравнения.