Решение: Уравнение с синусом
а) Решите уравнение $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПоскольку $16^{\sin x} = \left(4^{\sin x}\right)^2$, введём замену $t = 4^{\sin x}$. Так как $4^{\sin x} > 0$, имеем $t > 0$.
$$t^2 - 6t + 8 = 0$$Решим квадратное уравнение.
$$(t-2)(t-4)=0,\quad t=2\ или\ t=4$$Возвращаясь к переменной $x$, получаем две группы условий.
$$4^{\sin x}=2\Rightarrow \sin x=\frac12;\qquad 4^{\sin x}=4\Rightarrow \sin x=1$$Общие решения первого уравнения имеют вид
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\ или\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Общие решения второго уравнения имеют вид
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Проверим корни на отрезке $\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$. Из первой серии подходит $x=\dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{23\pi}{6}$. Из второй серии корней на отрезке нет. Из третьей серии подходит $x=\dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2}$.
а) $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$; б) $x=-\dfrac{23\pi}{6}$ и $x=-\dfrac{7\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $t>0$ после замены.
Потерять одну из серий решений уравнения $\sin x=\frac12$.
Не включить правую границу отрезка $-\frac{7\pi}{2}$.
Неверно подобрать целые значения параметра $k$.