Решение: Тригонометрическое уравнение с косинусом
Решите уравнение $2\cos x-2\sqrt{3}\cos(-x)-4\sin^2x=\sqrt{3}-4$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговТак как косинус является чётной функцией, заменим $\cos(-x)$ на $\cos x$, а $\sin^2x$ выразим через косинус:
$$\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin^2x=1-\cos^2x$$Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$$2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4(1-\cos^2x)=\sqrt{3}-4$$Перенесём все слагаемые в левую часть и введём замену $t=\cos x$:
$$4t^2+(2-2\sqrt{3})t-\sqrt{3}=0$$Решим квадратное уравнение. Его корни равны:
$$t_1=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=-\frac12$$Получаем две серии решений тригонометрического уравнения:
$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=2\pi n\pm\frac{\pi}{6};\qquad \cos x=-\frac12\Rightarrow x=2\pi n\pm\frac{2\pi}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$. Из первой серии подходит $x=2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13\pi}{6}$. Из второй серии подходят $x=2\pi+\frac{2\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}$ и $x=2\pi+\frac{4\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$.
Общее решение: $x=2\pi n\pm\frac{\pi}{6}$ или $x=2\pi n\pm\frac{2\pi}{3}$, $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{\frac{13\pi}{6},\frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют свойство чётности и считают, что $\cos(-x)=-\cos x$.
Теряют один из корней квадратного уравнения после замены $t=\cos x$.
Не проверяют принадлежность найденных корней заданному отрезку.