Решение: Степенно-тригонометрическое уравнение
Решите уравнение $16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{17}{4}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, преобразуем вторую степень:
$$16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac{1}{16^{\sin x}}$$Введём замену $t=16^{\sin x}$. Поскольку $t>0$, уравнение принимает вид:
$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}$$Умножим уравнение на $4t$ и решим квадратное уравнение:
$$4t^2-17t+4=0$$Корни квадратного уравнения:
$$t=\frac{17\pm\sqrt{289-64}}{8}=\frac{17\pm15}{8},\qquad t=4\ или\ t=\frac14$$При $16^{\sin x}=4$ получаем $\sin x=\dfrac12$, поэтому $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.
$$16^{\sin x}=4=16^{1/2}\Rightarrow\sin x=\frac12$$При $16^{\sin x}=\dfrac14$ получаем $\sin x=-\dfrac12$, поэтому $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.
$$16^{\sin x}=\frac14=16^{-1/2}\Rightarrow\sin x=-\frac12$$На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ находятся корни $\dfrac{11\pi}{6}$, $\dfrac{13\pi}{6}$ и $\dfrac{17\pi}{6}$.
$$\frac{11\pi}{6}=\frac{11\pi}{6},\quad \frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}$$Общее решение: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$: $x=\dfrac{11\pi}{6},\ \dfrac{13\pi}{6},\ \dfrac{17\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют равенство $\sin(x+\pi)=\sin x$ вместо $\sin(x+\pi)=-\sin x$.
Теряют условие $t>0$ при замене $t=16^{\sin x}$.
Не учитывают все четыре серии решений для значений $\sin x=\pm\dfrac12$.
Неправильно отбирают корни, принадлежащие заданному отрезку.