Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговИспользуем тождество для косинуса суммы:
$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$$Применяем формулу двойного угла $\cos 2x=1-2\sin^2x$:
$$1-2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x-1=0$$Вынесем общий множитель:
$$-\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0$$Получаем два тригонометрических уравнения:
$$\sin x=0\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$Общее решение первого уравнения:
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$Общее решение второго уравнения:
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$ из первой серии получаем $2\pi$ и $3\pi$, а из второй серии — $\frac{7\pi}{4}$.
$x=\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$; на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$: $\frac{7\pi}{4},\ 2\pi,\ 3\pi$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)$.
Теряют один из корней уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Не проверяют принадлежность найденных корней заданному отрезку.