Решение: Тригонометрическое уравнение
Решите уравнение $2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПрименим формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x$$Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$$2\cos^2 x-\cos x=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$\cos x(2\cos x-1)=0$$Решим первое уравнение:
$$\cos x=0 \Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Решим второе уравнение:
$$\cos x=\frac12 \Longrightarrow x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ из первой серии получаем $x=-\frac{3\pi}{2}$ и $x=-\frac{\pi}{2}$, а из второй серии — $x=-\frac{5\pi}{3}$.
Общее решение: $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{-\frac{5\pi}{3},-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют формулы приведения и получают неправильные знаки.
Теряют корень $x=-\frac{\pi}{2}$, забывая, что отрезок включает правую границу.
Не проверяют все серии решений на принадлежность заданному отрезку.