Решение: Тригонометрическое уравнение с параметром
Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2x=2\cos^3x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговПеренесём правую часть уравнения в левую и сгруппируем слагаемые:
$$2\cos x-2\cos^3x-\sqrt{3}\sin^2x=0$$Вынесем общий множитель и применим формулу $1-\cos^2x=\sin^2x$:
$$2\cos x(1-\cos^2x)-\sqrt{3}\sin^2x=0$$Получаем произведение, равное нулю:
$$\sin^2x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$$Решаем первое уравнение произведения:
$$\sin^2x=0 \Longrightarrow \sin x=0 \Longrightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Решаем второе уравнение произведения:
$$2\cos x-\sqrt{3}=0 \Longrightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Отберём корни серии $x=\pi n$ на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$. Получаем $n=-3$ и $n=-2$.
$$x=-3\pi,\quad x=-2\pi$$Для серии $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ на отрезке находится корней нет. Для серии $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ при $n=-1$ получаем корень $x=-\dfrac{13\pi}{6}$.
Общее решение: $x=\pi n$ или $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$: $x\in\left\{-3\pi; -\dfrac{13\pi}{6}; -2\pi\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Потеря множителя $\sin^2x$ при преобразовании.
Запись только корней уравнения $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Неверный отбор корней на заданном отрезке.
Ошибки при приведении корней к общему знаменателю.