Решение: Тригонометрическое уравнение с корнем
а) Решите уравнение $\dfrac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.
Решение по шагам
9 шаговДля существования выражения необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным:
$$11\sin x>0\quad\Longrightarrow\quad \sin x>0$$При выполнении этого условия знаменатель не равен нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю:
$$9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}=0$$Представим $9$ как степень числа $3$ и приравняем показатели:
$$3^{2\sin 2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x}\quad\Longrightarrow\quad \sin 2x=\sqrt{2}\sin x$$Используем формулу двойного угла:
$$2\sin x\cos x=\sqrt{2}\sin x$$Так как по ОДЗ $\sin x>0$, можно разделить равенство на $\sin x$:
$$2\cos x=\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$Общие решения уравнения с учётом ОДЗ:
$$x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4},\quad n\in\mathbb Z$$Проверим корни на условие $\sin x>0$. Для $x=2\pi n+\frac{\pi}{4}$ синус положителен, а для $x=2\pi n-\frac{\pi}{4}$ синус отрицателен. Поэтому остаётся:
$$x=2\pi n+\frac{\pi}{4},\quad n\in\mathbb Z$$Ищем такие значения на отрезке $\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]$:
$$\frac{7\pi}{2}\le 2\pi n+\frac{\pi}{4}\le 5\pi$$После деления на $\pi$ получаем $1.625\le n\le 2.375$, следовательно, $n=2$.
$$x=2\pi\cdot2+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$Общее решение: $x=2\pi n+\dfrac{\pi}{4}$, $n\in\mathbb Z$; на отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$ корень $x=\dfrac{17\pi}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают условие $\sin x>0$, возникающее из знаменателя.
После деления на $\sin x$ забывают проверить, что синус не равен нулю.
Оставляют решения $x=2\pi n-\frac{\pi}{4}$, хотя они не удовлетворяют ОДЗ.
Неверно определяют целое значение параметра $n$ на заданном отрезке.