Решение: Тригонометрическое уравнение со степенями
а) Решите уравнение $16^{\cos x} + 16^{\cos(\pi - x)} = \dfrac{17}{4}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
8 шаговПреобразуем косинус второго показателя:
$$\cos(\pi-x)=-\cos x$$Тогда исходное уравнение принимает вид:
$$16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}$$Введём замену $t=16^{\cos x}$, причём $t>0$. Получаем:
$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}$$Умножим уравнение на $4t$ и решим квадратное уравнение:
$$4t^2-17t+4=0$$Корни квадратного уравнения равны:
$$t=\frac{17\pm\sqrt{225}}{8}=4\quad\text{или}\quad t=\frac14$$Возвращаемся к переменной $x$. В первом случае $16^{\cos x}=4=16^{1/2}$, во втором $16^{\cos x}=\frac14=16^{-1/2}$:
$$\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12$$Общие решения этих уравнений:
$$x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\quad\text{или}\quad x=2\pi k\pm\frac{2\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$ находятся числа $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{3}$.
Общие корни: $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}$ или $x=2\pi k\pm\frac{2\pi}{3}$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют формулу $\cos(\pi-x)$ и получают знак плюс вместо минуса.
Забывают условие $t>0$ при замене $t=16^{\cos x}$.
Находят общие решения, но не проверяют их принадлежность заданному отрезку.
Теряют корень $\frac{7\pi}{3}$, расположенный между $2\pi$ и $\frac{5\pi}{2}$.