Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\sin 2x + 2\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{15\pi}{2}; -6\pi\right]$.
Решение по шагам
8 шаговРаскроем косинус разности:
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$Подставим это выражение в исходное уравнение:
$$\sin 2x+2\sin x+2\cos x+1=0$$Используем равенство $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и введём обозначение $y=\sin x+\cos x$. Тогда $2\sin x\cos x=y^2-1$, поэтому уравнение принимает вид:
$$y^2-1+2y+1=0,\qquad y^2+2y=0$$Решения уравнения относительно $y$: $y=0$ или $y=-2$. Второе значение невозможно, поскольку $\sin x+\cos x\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$. Следовательно:
$$\sin x+\cos x=0$$Преобразуем полученное уравнение:
$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$Общее решение:
$$x+\frac{\pi}{4}=\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Отберём решения, принадлежащие заданному отрезку:
$$-\frac{15\pi}{2}\le -\frac{\pi}{4}+\pi k\le -6\pi$$После деления на $\pi$ получаем $-\frac{29}{4}\le k\le -\frac{23}{4}$, поэтому $k=-7$ или $k=-6$. Соответствующие корни:
$$x=-\frac{29\pi}{4},\qquad x=-\frac{25\pi}{4}$$Общее решение: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-\frac{15\pi}{2};-6\pi\right]$ находятся корни $x=-\frac{29\pi}{4}$ и $x=-\frac{25\pi}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают формулу косинуса разности.
Не учитывают ограничение $\sin x+\cos x\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$ и принимают $\sin x+\cos x=-2$.
Теряют один из корней при отборе целых значений параметра $k$.