Решение: Показательное уравнение и отрезок
а) Решите уравнение $8^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 2^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_4 5;\sqrt{3}]$.
Решение по шагам
5 шаговВыполним замену $t = 2^x$, тогда $t > 0$. Имеем $8^x = 2^{3x} = t^3$, $2^{x+2} = 4t$, а $2^{5-x} = \dfrac{32}{t}$.
$$t^3 - 12t + \frac{32}{t} = 0$$Умножим уравнение на $t > 0$ и сгруппируем слагаемые.
$$t^4 - 12t^2 + 32 = 0$$Положим $y=t^2$. Решаем квадратное уравнение.
$$y^2 - 12y + 32 = 0;\quad (y-4)(y-8)=0$$Так как $t>0$, получаем $t=2$ или $t=2\sqrt{2}$. Следовательно, $2^x=2$ или $2^x=2\sqrt{2}=2^{3/2}$.
$$x=1\quad\text{или}\quad x=\frac{3}{2}$$Проверим принадлежность корней отрезку. Так как $\log_4 5>1$, корень $x=1$ не принадлежит отрезку. Кроме того, $\frac{3}{2}<\sqrt{3}$ и $\frac{3}{2}>\log_4 5$, поэтому $x=\frac{3}{2}$ принадлежит отрезку.
$$\log_4 5 < \frac{3}{2} < \sqrt{3}$$а) $x=1;\ \frac{3}{2}$. б) $x=\frac{3}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают условие $t>0$ после замены $t=2^x$.
Ошибаются при преобразовании $2^{5-x}$ в дробь $\dfrac{32}{t}$.
Считают, что корень $x=1$ принадлежит отрезку, не сравнив его с $\log_4 5$.