Решение: Тригонометрическое уравнение и корни
Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi)=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем косинус суммы и синус двойного угла:
$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$Подставим эти выражения в исходное уравнение и вынесем общий множитель:
$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$Разложим уравнение на множители:
$$\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0$$Решаем первый случай:
$$\cos x=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$Решаем второй случай:
$$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\ или\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ из первой серии получаем $x=\dfrac{7\pi}{2}$ и $x=\dfrac{9\pi}{2}$; из второй серии получаем $x=\dfrac{17\pi}{4}$. Третья серия корней на этом отрезке решений не даёт.
$$\dfrac{7\pi}{2}<\dfrac{17\pi}{4}<\dfrac{9\pi}{2}$$Общее решение: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$: $x=\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{17\pi}{4},\dfrac{9\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применять формулу $\cos(x+\pi)=-\cos x$.
Потерять множитель $\cos x$ при разложении уравнения.
Не учесть оба конца заданного отрезка.
Ошибиться при подборе целых значений параметра $n$.