Решение: Тригонометрическое уравнение
а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем левую часть уравнения, используя $49=7^2$:
$$\left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{-2\sin(x+\pi)}$$Применяем формулы приведения:
$$-2\sin(x+\pi)=2\sin x, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$Уравнение принимает вид:
$$7^{2\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}$$Так как основание $7>0$ и $7\ne1$, приравниваем показатели:
$$2\sin x=2\sqrt{3}\cos x$$Получаем основное тригонометрическое уравнение. Случай $\cos x=0$ решений не даёт, поэтому:
$$\tan x=\sqrt{3}, \qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Отберём корни на отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$:
$$3\pi\leq\frac{\pi}{3}+\pi k\leq\frac{9\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad k=3,4$$а) $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; б) $x=\dfrac{10\pi}{3}$ и $x=\dfrac{13\pi}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin(x+\pi)$ и получают неправильный знак в показателе.
Забывают, что решения уравнения $\tan x=\sqrt{3}$ имеют вид $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$.
Неправильно отбирают значения параметра $k$ по заданному отрезку.