Решение: Тригонометрическое уравнение
Решите уравнение $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin 2x=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
5 шаговИспользуем тождество $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
$$2\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$Вынесем общий множитель.
$$2\cos x(\cos x+\sin x)=0$$Решаем первое уравнение произведения.
$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Решаем второе уравнение произведения.
$$\cos x+\sin x=0\Rightarrow \tan x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Отбираем корни на отрезке $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$. Из первой серии подходят $x=\frac{7\pi}{2}$ и $x=\frac{9\pi}{2}$, из второй серии — $x=\frac{15\pi}{4}$.
Общее решение: $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=-\frac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{\frac{7\pi}{2},\frac{15\pi}{4},\frac{9\pi}{2}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Потеря множителя $2$ при преобразовании $\sin 2x$.
Неверное решение уравнения $\sin x+\cos x=0$.
Пропуск крайнего корня $x=\frac{9\pi}{2}$, который входит в отрезок.