Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
а) Решите уравнение $4\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\sqrt{6}$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[4\pi;\frac{11\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговПреобразуем первое слагаемое по формуле косинуса разности.
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$Преобразуем синус второго аргумента по формуле приведения.
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x$$Подставляем преобразования в исходное уравнение и упрощаем.
$$4\cdot\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}(-\cos x)=\sqrt{6}$$Так как $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, слагаемые с $\cos x$ сокращаются.
$$2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}$$Делим обе части уравнения на $2\sqrt{2}$.
$$\sin x=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$Записываем общее решение тригонометрического уравнения.
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Отбираем корни на отрезке $\left[4\pi;\frac{11\pi}{2}\right]$. При $n=2$ получаем оба корня, остальные значения $n$ выводят корни за пределы отрезка.
$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi=\frac{13\pi}{3};\quad x=\frac{2\pi}{3}+4\pi=\frac{14\pi}{3}$$а) $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ или $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. б) $x\in\left\{\frac{13\pi}{3};\frac{14\pi}{3}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$ и получают неправильный знак.
Не сокращают одинаковые слагаемые с $\cos x$ после раскрытия косинуса разности.
Указывают только общее решение и не отбирают корни на заданном отрезке.
При отборе корней ошибочно берут значения $n$, для которых корни не принадлежат отрезку.