Решение: Тригонометрическое уравнение
Решите уравнение $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sin^2x=\sin x+2$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
9 шаговПреобразуем первый член уравнения:
$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$$Подставим это в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:
$$2\sin^2x-\sin x+\cos x-2=0$$Обозначим $c=\cos x$. Так как $\sin^2x=1-c^2$, получаем:
$$2(1-c^2)-\sin x+c-2=0$$Выразим синус через косинус:
$$\sin x=c-2c^2$$Используем основное тригонометрическое тождество:
$$c^2+(c-2c^2)^2=1$$После раскрытия скобок получаем уравнение для $c$:
$$4c^4-4c^3+2c^2-1=0$$На отрезке $[-1;1]$ это уравнение имеет два корня: $c_1\approx-0{,}4614$ и $c_2\approx0{,}8326$. Соответствующие значения синуса равны $\sin x=c-2c^2$, поэтому $\sin x_1\approx-0{,}8872$, $\sin x_2\approx-0{,}5538$.
Следовательно, общее решение можно записать через найденные значения косинуса и синуса:
$$x=2\pi k+\operatorname{atan2}(-0{,}8872,-0{,}4614)\quad\text{или}\quad x=2\pi k+\operatorname{atan2}(-0{,}5538,0{,}8326),\quad k\in\mathbb Z$$Численно базовые значения решений равны $x\approx4{,}233$ и $x\approx5{,}696$. На отрезке $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$ находятся решения с $k=1$ в представлении через углы на отрезке $[0;2\pi)$:
$$x\approx4{,}233\quad\text{и}\quad x\approx5{,}696$$Общее решение: $x\approx4{,}233+2\pi k$ или $x\approx5{,}696+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$: $x\approx4{,}233$ и $x\approx5{,}696$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают выражение $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.
После замены $c=\cos x$ забывают использовать условие $\sin^2x+\cos^2x=1$.
Выбирают только один знак синуса при восстановлении угла по косинусу.
Не проверяют, какие из найденных корней попадают в заданный отрезок.