Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\sin(x + \pi) = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем синус суммы и синус двойного угла:
$$\sin 2x + \sqrt{2}\sin(x+\pi)=2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x$$Вынесем общий множитель:
$$\sin x(2\cos x-\sqrt{2})=0$$Рассмотрим первый случай:
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$Рассмотрим второй случай:
$$2\cos x-\sqrt{2}=0 \Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4},\quad n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ из решений $x=\pi n$ получаем $x=-4\pi$ и $x=-3\pi$.
Из решений $x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4}$ на данном отрезке подходит только $x=-\frac{15\pi}{4}$.
Общее решение: $x=\pi n$ или $x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4}$, $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{-4\pi; -\frac{15\pi}{4}; -3\pi\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что $\sin(x+\pi)=-\sin x$.
Потерять один из случаев после разложения на множители.
Неверно определить, какие значения общего решения принадлежат заданному отрезку.