Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$.
Решение по шагам
5 шаговПреобразуем косинус суммы и косинус двойного угла:
$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$$2\cos^2x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0$$Вынесем общий множитель:
$$\cos x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0$$Получаем два случая. Если $\cos x=0$, то $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Если $2\cos x-\sqrt{2}=0$, то $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4}$, $n\in\mathbb{Z}$.
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4},\qquad n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$ из первой серии находятся корни $-\frac{7\pi}{2}$ и $-\frac{5\pi}{2}$. Из второй серии подходит корень $-\frac{15\pi}{4}$.
$$-4\pi\le -\frac{15\pi}{4},-\frac{7\pi}{2},-\frac{5\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{2}$$а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=2\pi n\pm\frac{\pi}{4}$, $n\in\mathbb{Z}$. б) $x\in\left\{-\frac{15\pi}{4},-\frac{7\pi}{2},-\frac{5\pi}{2}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют формулу $\cos(x+\pi)=-\cos x$.
Теряют один из случаев при решении произведения, равного нулю.
Не учитывают, что концы заданного отрезка входят в него.
Путают общий вид решений уравнения $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.