Решение: Тригонометрическое уравнение с корнями
Решите уравнение $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin(2\pi-x)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x$ и найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$.
Решение по шагам
7 шаговПрименим формулы приведения и двойного угла:
$$\sin(2\pi-x)=-\sin x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$Подставим эти выражения в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть:
$$2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0$$Сгруппируем слагаемые и разложим полученное выражение на множители:
$$\sqrt{2}\sin x(\sqrt{2}\sin x-1)+\sqrt{6}\cos x(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$Получаем произведение, равное нулю:
$$(\sqrt{2}\sin x-1)(\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x)=0$$Решим первое уравнение. Условие $\sqrt{2}\sin x-1=0$ даёт:
$$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\ или\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Решим второе уравнение. После деления на $\sqrt{2}$ получаем $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$, поэтому:
$$\tan x=-\sqrt{3},\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$На отрезке $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$ из первого семейства подходит $x=\frac{\pi}{4}$, а из второго — $x=-\frac{\pi}{3}$.
Общие решения: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi k$, $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k$ или $x=-\frac{\pi}{3}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. На отрезке $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$: $x\in\left\{-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{4}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать формулу $\sin(2\pi-x)$ и считать её равной $\sin x$.
Потерять второе семейство решений при разложении на множители.
Не проверить принадлежность найденных корней заданному отрезку.