Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
а) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} - 2\sin(x + \pi)$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
8 шаговПреобразуем синус суммы: $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Поэтому исходное уравнение принимает вид
$$1 - \cos 2x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} + 2\sin x$$Перенесём все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$$1 - \cos 2x - (2 - \sqrt{2})\sin x - \sqrt{2} = 0$$Обозначим $t = \sin x$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$2t^2 - (2 - \sqrt{2})t - \sqrt{2} = 0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$2t^2 - (2 - \sqrt{2})t - \sqrt{2} = (t - 1)(2t + \sqrt{2})$$Следовательно, возможны два значения синуса:
$$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$Общие решения первого уравнения:
$$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$Общие решения второго уравнения:
$$x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$На отрезке $\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$ из этих серий находятся корни $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{9\pi}{4}$ и $-\dfrac{11\pi}{4}$.
а) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ или $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. б) $x \in \left\{-\dfrac{11\pi}{4}; -\dfrac{9\pi}{4}; -\dfrac{3\pi}{2}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют формулу $\sin(x + \pi)$ и получают знак плюс вместо минуса.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно $\sin x$.
Не проверяют принадлежность найденных корней заданному отрезку.
Записывают только корни на отрезке, не решив пункт а) в общем виде.