Решение: Тригонометрическое уравнение с косинусом
а) Решите уравнение $2 - 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\cos x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговПрименим формулы приведения и двойного угла:
$$\cos(\pi-2x)=-\cos 2x,\quad \cos 2x=2\cos^2x-1$$Подставим эти выражения в исходное уравнение и приведём подобные слагаемые:
$$2+2\cos 2x+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x$$Обозначим $t=\cos x$. Получаем квадратное уравнение:
$$4t^2+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})t-\sqrt{6}=0$$Решая квадратное уравнение, получаем допустимые значения косинуса:
$$t_1=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad t_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$Для первого значения косинуса:
$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=2\pi n\pm\frac{\pi}{6},\quad n\in\mathbb{Z}$$Для второго значения косинуса:
$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\ \text{или}\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ находятся корни $\dfrac{13\pi}{4}$, $\dfrac{23\pi}{6}$ и $\dfrac{25\pi}{6}$.
Общие решения: $x=2\pi n\pm\dfrac{\pi}{6}$ или $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$: $x\in\left\{\dfrac{13\pi}{4};\dfrac{23\pi}{6};\dfrac{25\pi}{6}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют формулу $\cos(\pi-2x)=-\cos 2x$.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно $\cos x$.
Не проверяют общие решения на принадлежность заданному отрезку.