Решение: Тригонометрическое уравнение с косинусом двойного угла
Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем синус суммы:
$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим $\sin x$:
$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad\cos x-\cos 2x=1$$Используем формулу косинуса двойного угла:
$$\cos x-(2\cos^2x-1)=1$$Приведём уравнение к произведению:
$$\cos x-2\cos^2x=0\quad\Longrightarrow\quad\cos x(1-2\cos x)=0$$Рассмотрим первый случай:
$$\cos x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$Рассмотрим второй случай:
$$\cos x=\frac12\quad\Longrightarrow\quad x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$ из первого семейства получаем $x=-\dfrac{3\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{\pi}{2}$, а из второго — $x=-\dfrac{5\pi}{3}$.
а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=2\pi k\pm\dfrac{\pi}{3}$, где $k\in\mathbb{Z}$. б) $x\in\left\{-\dfrac{5\pi}{3};-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают формулу синуса суммы.
Теряют решение $x=-\dfrac{\pi}{2}$, не включая правую границу отрезка.
Не проверяют все значения параметра $k$ на заданном отрезке.