Решение: Тригонометрическое уравнение с отбором корней
а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{17\pi}{2};\,10\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговПреобразуем косинус суммы и косинус разности:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}},\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x$$Подставляем формулы в исходное уравнение:
$$4\cdot\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}(-\cos x)=2$$Упрощаем левую часть:
$$2\sqrt{2}(\cos x-\sin x)-2\sqrt{2}\cos x=2$$Получаем простое тригонометрическое уравнение:
$$-2\sqrt{2}\sin x=2,\qquad \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$Записываем общий вид решений:
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}$$Отбираем корни из первого семейства на отрезке $\left[\frac{17\pi}{2};10\pi\right]$. Получаем $n=5$ и корень:
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot5=\frac{39\pi}{4}$$Отбираем корни из второго семейства. Получаем $n=4$ и корень:
$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi\cdot4=\frac{37\pi}{4}$$а) $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. б) $x\in\left\{\frac{37\pi}{4};\frac{39\pi}{4}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\cos(\pi-x)$ и записывают его как $\cos x$.
Теряют один из двух семейств корней уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Неправильно отбирают значения параметра $n$ на заданном отрезке.
Не проверяют принадлежность найденных корней отрезку $\left[\frac{17\pi}{2};10\pi\right]$.