Решение: Тригонометрическое логарифмическое уравнение
а) Решите уравнение $\dfrac{\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$.
Решение по шагам
8 шаговЗапишем область допустимых значений. Для существования логарифма необходимо $\sin x>0$, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:
$$\sin x>0,\qquad 2\cos x-\sqrt{3}\ne0$$Так как дробь равна нулю, её числитель должен быть равен нулю:
$$\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0$$Введём замену $t=\log_2(\sin x)$. Тогда:
$$t^2+t=0\quad\Longleftrightarrow\quad t(t+1)=0$$Отсюда $t=0$ или $t=-1$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$$\sin x=1\quad\text{или}\quad\sin x=\frac{1}{2}$$Решения уравнения $\sin x=1$ имеют вид $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$. Они не нарушают условие на знаменатель.
Решения уравнения $\sin x=\dfrac{1}{2}$ имеют вид $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$. При $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ выполняется $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому знаменатель равен нулю. Эти корни исключаются.
Общее решение исходного уравнения:
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ находятся значения $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$.
а) $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; б) $x\in\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения, при которых знаменатель дроби равен нулю.
Включают в ответ решения $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, хотя они обращают знаменатель в ноль.
Забывают проверить корни на заданном отрезке.